問題#19（2022-03-25）

問題

以下是四個關於族群成長動態的方程式：

1.　 $\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}$ $=r_1 N_1$ $\left(\frac{K_1-N_1}{K_1}\right)$

2.　 $\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}$ $=r_1 N_1$

3.　 $\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}$ $=r_1 N_1$ $\left(\frac{K_1-N_1-\alpha N_2}{K_1}\right)$

4.　 $\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}$ $=N_1 b_1 - d_1 N_1 N_2$

以下則是四段有關上述方程式的描述：

I.　表示物種１的族群增長，且環境中存在與其競爭的物種２
II.　表示物種１的 S 型（logistic）族群增長
III.　表示獵物物種１的族群增長，環境中存在其捕食者物種２
IV.　表示物種１的指數型（exponential）族群增長

方程式與描述配對正確的是：

(A)　1 – II / 2 – IV / 3 – I / 4 – III
(B)　1 – IV / 2 – II / 3 – III / 4 – I
(C)　1 – II / 2 – IV / 3 – III / 4 – I
(D)　1 – IV / 2 – II / 3 – I / 4 – III

答案

［往下方查看答案］

［答案：A］

　指數型族群增長：　

$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} =r N$

可解出

$N_t = N_o e^{rt}$

　Ｓ型族群增長：　

$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} =r N \left(1-\frac{N}{K}\right)$

可解出

$N_t = \frac{K}{1+\left[\frac{K-N_0}{N_0}\right]e^{-rt}}$

棲息地往往不能容忍物種無限擴增，例如環境中只存在有限的食物，使該環境只能容納一定數目的個體。
以數學模型表示時，此最大值記為 $K$ ，隨着族群個體數增多，族群增長速率會變慢，直至達至最大值 $K$ 。分子的 $-N$ 項考慮個體數增長放緩的現象（例如個體數增多時種內競爭相應變強）。
此模型中，族群個體數增長呈 S 型。

　存在相互競爭的兩物種（Lotka-Volterra 競爭方程式）：　

$\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t} =r_1 N_1 \left(\frac{K_1-N_1-\alpha_{12} N_2}{K_1}\right)$

$\frac{\mathrm{d} N_2}{\mathrm{d} t} =r_2 N_2 \left(\frac{K_2-N_2-\alpha_{21} N_1}{K_2}\right)$

當環境中存在相互競爭的物種時，兩者皆會影響另一方的族群增長。
以上方 S 型族群增長（logistic population growth）的數學模型出發，在分子進一步加入「 $-\alpha_{12} N_2$ 」和「 $-\alpha_{21} N_1$ 」項，來考慮種間競爭的影響。 $\alpha_{12}$ 和 $\alpha_{21}$ 稱為競爭係數（competition coefficients）。

　捕食者物種—獵物物種模型（Lotka-Volterra 捕食者—獵物浮動方程式）：　

$\frac{\mathrm{d} N_{\mathrm{prey}}}{\mathrm{d} t} =r_{\mathrm{prey}} N_{\mathrm{prey}} - p N_{\mathrm{prey}} N_{\mathrm{predator}}$

$\frac{\mathrm{d} N_{\mathrm{predator}}}{\mathrm{d} t} =cp N_{\mathrm{prey}} N_{\mathrm{predator}} - d_{\mathrm{predator}} N_{\mathrm{predator}}$

$N_{\mathrm{prey}}$ ：獵物種的族群增長
$r_{\mathrm{prey}}$ ：獵物種的族群增長率
$p$ ：捕食率， $-p N_{\mathrm{prey}} N_{\mathrm{predator}}$ 表示被捕食的獵物數目（因此需從族群數中減去此數目）
$N_{\mathrm{predator}}$ ：捕食種的族群增長
$c$ ：獵物轉化為捕食種後代的比率（數目為 $cp N_{\mathrm{predator}}N_{\mathrm{prey}}$ ）
$N_{\mathrm{prey}}$ ：獵物種族群增長
$d$ ：捕食種的死亡率（因此需從捕食種族群數中減去 $-d N_{\mathrm{predator}}$ ）